Отчет о проведении лабораторной работы

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

Цель работы: исследовать зависимость периода колебании пружинного маятника от массы груза и жесткости пружины. 

Приборы: спиральная пружина на штативе, набор грузов, секундомер.

 

Описание лабораторной установки

Лабораторная установка представляет собой пружинный маятник. И состоит из: штатива 4 (рис.1) прикрепленной к нему пружины 2 с подвешиваемыми на нее грузами 1 и рейтера 3 при помощи которого можно изменять жесткость пружины отделяя необходимое количество витков пружины.


Рисунок 1. Схема лабораторной установки

 

Краткие теоретические сведения

Сила действующая на груз со стороны пружины подчиняется закону Гука:

F=-kx, (1)

где k - коэффициент жесткости пружины, x – смещение груза от положения равновесия.

Потому жесткость пружины можно определить по формуле:

K=|F|/x.       (2)

Колебания пружинного маятника являются гармоническими и описываются уравнением:

x=Asin(ω0t+ φ0).      (3)

где А – амплитуда колебаний; ω0 – циклическая частота,; – начальная фаза колебаний.

Циклическая частота и период колебаний связаны соотношением:

T=2π/ ω0.           (4)

Период колебаний зависит от массы груза и жесткости пружины и определяется по формуле:

T=2π√(m/k).         (5)

Откуда следует, что колебания различных грузов на одной пружине подчиняются соотношению:

Ti/Tj=√(mi/mj),         (6)

а колебания одинаковых грузов на пружинах различной жесткости подчиняются соотношению:

Ti/Tj=√(kj/ki).          (7)

Период колебаний так же можно определить по формуле:

T=t/n,                   (8)

где t – время колебаний; п – количество полных колебаний.

 

Порядок выполнения работы.

Определим периоды колебаний грузов различной массы на пружине одной жесткости.

1. Для этого измерим время совершения 20-25 полных колебаний для трех грузов 200, 250 и 300 г (при амплитуде колебаний 10-15 мм).

2. Определим периоды колебаний по формуле (8).

3. Результаты измерений запишем в таблицу 1.

4. Вычислим отношения Ti/Tj, √(mi/mj), и проверим справедливость соотношения (6).

 

Таблица 1.

опыта

m, г

n

t, с

T, с

Ti/Tj√(mi/mj)

1

200

20

21,2

1,06

0,87

0,89

2

250

20

24,3

1,22

0,90

0,91

3

300

20

27,1

1,36

0,78

0,82

 

Период колебаний маятника:

T1 = 21,2/20 =1,06 c,

T2 = 24,3/20 =1,22 c,

T3 = 27,1/20 =1,36 c.

Отношение периодов колебаний:

T1 / T2 = 1,06/1,22=0,87,

T2 / T3 = 1,22/1,36=0,90,

T1 / T3 = 1,06/1,36=0,78.

Отношение масс грузов:

√(m1/m2) =√(0,2/0,25) = 0,89 ≈T1/T2,

√(m2/m3) =√(0,25/0,3) = 0,91 ≈T2/T3,

√(m1/m3) =√(0,2/0,3) = 0,82 ≈T1/T3.

Полученные значения для отношения периодов Ti/Tj и масс √(mi/mj) подтверждают справедливость формулы (6)

  

Определим периоды колебаний одного груза при различной жесткости пружины.

1. Для этого измерим время совершения 20-25 полных колебаний груза массой 300 г при различной длине пружины: l, l/2, l/3.

2. Определим периоды колебаний по формуле (8).

3. Определим жесткость пружины подвешивая к ней различные грузы (200, 250 и 300 г) и измеряя при этом ее удлинение пружины:

k=mg/x .

4. Результаты измерений запишем в таблицу 2.

5. Вычислим отношения Ti/Tj и √(kj/ki) проверим справедливость соотношения (7).

 

Таблица 2.

№ опыта

Длина пружины

m, г

Определение

Т

Определение

k

Ti/Tj

√(kj/ki)

n

t, с

T, с

m, г

x, мм

k, Н/м

1

l

300

20

26,7

1,34

200

180

10,9

1,38

1,36

250

230

10,7

300

280

10,5

<k1>=

10,7

2

l/2

300

20

19,4

0,97

200

100

19,6

1,41

1,40

250

120

20,4

300

150

19,6

<k2>=

19,9

3

l/3

300

20

13,8

0,69

200

50

39,2

1,94

1,91

250

60

40,8

300

80

36,8

<k3>=

38,8

 

Период колебаний маятника:

T1 = 26,7/20 =1,34 c,

T2 = 19,4/20 =0,97 c,

T3 = 13,8/20 =0,69 c.

Жесткость пружины при длине пружины l:

k1 = 0,2·9,8/0,18 =10,9 Н/м,

k2 = 0,25·9,8/0,23 =10,7 Н/м,

k3 = 0,3·9,8/0,28 =10,5 Н/м.

среднее значение жесткости пружины:

(k1) = (10,9+10,7+10,5)/3=10,7 Н/м.

Жесткость пружины при длине пружины l/2:

k1 = 0,2·9,8/0,1 =19,6 Н/м,

k2 = 0,25·9,8/0,12 =20,4 Н/м,

k3 = 0,3·9,8/0,15 =19,6 Н/м.

среднее значение жесткости пружины:

(k2) = (19,6+20,4+19,6)/3=19,9 Н/м.

Жесткость пружины при длине пружины l/3:

k1 = 0,2·9,8/0,105 =39,2 Н/м,

k2 = 0,25·9,8/0,06 =40,8 Н/м,

k3 = 0,3·9,8/0,08 =36,8 Н/м.

среднее значение жесткости пружины:

(k1) = (39,2+40,8+36,8)/3=38,9 Н/м.

Отношение периодов колебаний:

 

 

T1 / T2 = 1,34/0,97=1,38,

T2 / T3 = 0,97/0,69=1,41,

T1 / T3 = 1,34/0,69=1,94.

Отношение коэффициентов жесткости:

√(k2/k1) =√(19,9/10,7) = 1,36 ≈T1/T2,

√(k3/k2) =√(38,9/19,9) = 1,40 ≈T2/T3,

√(k3/k1) =√(38,9/10,7) = 1,91 ≈T1/T3.

 

Полученные значения для отношения периодов Ti/Tj и коэффициентов жесткости √(kj/ki) подтверждают справедливость формулы (7)

 

 

Вывод

Исследовали зависимость периода колебаний пружинного маятника от массы груза и жесткости пружины.

Экспериментально проверили справедливость соотношений для пружинного маятника:

 

Ti/Tj=√(mi/mj),     Ti/Tj=√(kj/k),

 

что в свою очередь подтверждает справедливость формулы для периода колебаний:

T=2π√(m/k).