«Аналитическая геометрия на плоскости »

Задание 1. Заданы три точкиА, В, С. Найти: а) общие уравнения и уравненияс угловым коэффициентом прямых, определяющих стороны треугольника АВС;  б) общие уравнения прямых, проходящих через точку С перпендикулярно и параллельно прямой АВ;  в) расстояние от точки С до прямой АВ. Построить все рассматриваемые прямые.

Вариант 6.     А(–3, 2),  В(2, –3),  С(1, 3).

Решение:

1. АВ:

АС:

ВС:

2.

СН:

 

СМ:

3. .

Изобразим прямые на плоскости.

 

Ответ:

1. АВ:

АС:

ВС:

2. СН: ; СМ:

3. .

Задание 2. Отметить точки в указанной системе координат.

1) От декартовых координат точек А, В перейти к полярным.

2) От полярных координат точек С, D перейти к декартовым координатам.

Вариант 6.     1) А(-1; -√3),  В(0; –1) в декартовой;          2)  ,       в полярной.

Решение:

Переход к полярным координатам и обратно.

1) А(-1; -√3)В(0; –1) в декартовой;

 

 

Получили  в полярной.

2) ,   в полярной.

Получили .

Ответ: .

 

Задание 3. Определить тип кривой по коэффициентам, получить каноническое уравнение и построить кривую на плоскости.

Вариант 6.

Решение:

а) ;

 

 

Получили окружность с центром в точке (4;-1) и радиусом равным 3.

б) .

 

 

 

Получили гиперболу с центром в точке (-2;2) и полуосями .

 

 

«Введение в анализ. Пределы и непрерывность функции»

Задание 4. Найти пределы функций(не используя правило Лопиталя).

Вариант 6. 

Решение:

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

Ответ: .

 

Задание 5.Исследовать функции на непрерывность, построить графики этих функций.

Вариант 6.        .

Решение:

 1)

 

1. Область определения функции: .

2. Точки пересечения графика функции с осями координат:

Ось х не пересекается графиком,  - пересечение с осью Оу в точке (0;0).

3. Функция четная, нечетная или периодическая:

 - функция ни четная, ни нечетная.

Функция не периодическая.

4. Исследование функции на непрерывность. Точки разрыва и вертикальные асимптоты.

Точка разрыва при х=-0,5.

 

Так как пределы бесконечны, то в точке х=-0,5 разрыв второго рода.

х=-0,5 – вертикальная асимптота

5. Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Асимптоты ищем в виде .

 

y=0 - горизонтальная асимптота

6. Интервалы возрастания и убывания функции  и её экстремумы.

 

Точек экстремумов нет.

 

х

 

 

у

-

-

y'

\|/

\|/

При  - функция убывает.

7. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

 

Точек перегиба нет.

х

 

 

у

-

+

y'

выпукла

вогнута

При  - функция выпукла.

При  - функция вогнута.

8. Построить эскиз графика функции по характерным точкам и асимптотам.

 

2)

1. Область определения функции: .

2. Точки пересечения графика функции с осями координат:

Ось х не пересекается графиком,  - пересечение с осью Оу в точке (0; √e ).

3. Функция четная, нечетная или периодическая:

  - функция ни четная, ни нечетная.

Функция не периодическая.

4. Исследование функции на непрерывность. Точки разрыва и вертикальные асимптоты.

Точка разрыва при х=3.

 

Так как один из пределов бесконечен, то в точке х=3 разрыв второго рода.

х=3 – вертикальная асимптота

5. Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Асимптоты ищем в виде .

 

 

y=1 - горизонтальная асимптота

6. Интервалы возрастания и убывания функции  и её экстремумы.

 

Точек экстремумов нет.

х

 

 

у

+

+

y'

/|\

­

/|\

­

При  - функция возрастает.

7. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

 

 

х

 

 

 

 

у

+

+

 e-2

-

y'

вогнута

вогнута

0

выпукла

При  - функция вогнута.

При  - функция выпукла.

8. Построить эскиз графика функции по характерным точкам и асимптотам.

 

«Аналитическая геометрия на плоскости »

Задание 1. Заданы три точки А, В, С. Найти: а) общие уравнения и уравнения с угловым коэффициентом прямых, определяющих стороны треугольника АВС;  б) общие уравнения прямых, проходящих через точку С перпендикулярно и параллельно прямой АВ;  в) расстояние от точки С до прямой АВ. Построить все рассматриваемые прямые.

 А(1, –2),  В(3, 4),  С(–1, 2).

 а) Уравнение прямой по двум точкам:

АВ:

 

 

 

- общее уравнение АВ

- уравнение АВ с угловым коэффициентом

АС:

 

 

 


- общее уравнение АС

- уравнение АС с угловым коэффициентом

ВС:

 

 

 

- общее уравнение ВС

- уравнение ВС с угловым коэффициентом

б) СН | АВ, следовательно, угловой коэффициент СН равен

Тогда уравнение прямой

. Прямая проходит через точку С, следоваельно выпоняется

. Тогда 

- общее уравнения прямой, проходящей через точку С перпендикулярно АВ


СР||АВ, следовательно, угловой коэффициент СР равен k=3

Тогда уравнение прямой

. Прямая проходит через точку С, следоваельно выпоняется

. Тогда b=5

-общее уравнение прямый, проходящей через точку С параллельно прямой АВ

в) Для вычисления расстояния от точки С(-1, 2) до прямой

используем формулу:

 

- расстояние от точки С до прямой АВ

 


Задание 2. Отметить точки в указанной системе координат.

1) От декартовых координат точек А, В перейти к полярным.

2) От полярных координат точек С, D перейти к декартовым координатам.

1)А(2; –2),  В(–3; 0) в декартовой;

 


Формулы перехода от декартовых координат к полярным

А:

В:

2)  в полярной.

 

Формулы перехода от полярных координат к декартовым координатам

С:

D:

Задание 3. Определить тип кривой по коэффициентам, получить каноническое уравнение и построить кривую на плоскости.

а) ;

Вычислим малый дискриминант . Т.о кривая принадлежит эллиптическому типу.

Так как большой дискриминант , то линия не распадается

 


- уравнение окружности с центром в точке  и с радиусом 

 


  б) .

Вычислим малый дискриминант . Т.о кривая принадлежит гиперболическому типу.

Так как большой дискриминант , то кривая представляет собой гиперболу







«Введение в анализ. Пределы и непрерывность функции»

Задание 4. Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя).

1) ,

2),


3),


4) .



Задание 5. Исследовать функции на непрерывность, построить графики этих функций.

1) ;

Функция не определена в точке x=2.

Вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и равны.

Таким образом, в точке x=2 функция терпит устранимый разрыв.


Функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.


2).

Функция не определена в точке x=4.

Вычислим односторонние пределы:



Левосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке x=4.