Cтереометрия. Пример решения задач
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, все рёбра которой равны 1. Точка M — середина ребра AS. Найдите расстояние от S до плоскости BCM.
Дано:
SABCD - правильная пирамида;
AS=BS=CS=DS=1;
AM=MS:
Найти: Расстояние от S до плоскости BCM.
Решение:
Рассмотрим прямую проекцию пирамиды, так чтобы проекции точек A и D (B и C) совпали.
Тогда, DS=ES. ES - высота правильного треугольника ΔASD.
Значит, 
.
Из 
найдем косинус угла SDG: 
.
Из теоремы косинусов:
По формуле Герона найдем площадь 
:
,
С другой стороны 
, тогда 
.
Ответ:
.
2. Сферу пересекает плоскость на расстоянии 5 от центра. В этой плоскости лежит прямоугольный треугольник с вершинами на сфере. Найти радиус сферы, если катеты треугольника равны 14.
Дано:
S- центр сферы;
SC- радиус сферы;
O- центр окружности, образованной линией пересечения плоскости и сферы;
OS=5;
ABC – прямоугольный треугольник;
BC=AC=14
Найти: SC-?
Решение:
Из прямоугольного ΔABC: AB = √(196+196). Так как ΔABC - прямоугольный, то гипотенуза AB является диаметром окружности, тогда AO = BO = CO = √(196/2) = √98.
Из прямоугольного ΔSOC: SC =√(98+25) = √123.
Ответ: SC = √123.
3. В сферу радиуса 1 вписана четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат. Меньшее ее боковое ребро перпендикулярно основанию, а большее составляет с ним угол в 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
Дано:
OE=1 – радиус сферы;
ABCDS- вписанная пирамида;
AS┴ABCD;
/ASC =60°;
Найти: SABCDS - ?
Так как угол / SAC - прямой, SC является диаметром сферы, тогда SC = 2OE = 2. Угол / SCA = 30°, тогда 
, 
. AC - диагональ квадрата ABCD, поэтому 
. Далее, 
,
Найдем по формуле Герона площадь
ΔSCD: 
, 
, 
,
.
Ответ: 
4. Внутрь куба с ребром 1 поместили 8 равных шаров по одному шару на вершину куба. Каждый шар касается трех граней, проходящих через «его» вершину. Известно, что шары, соответствующие вершинам одного ребра, касаются между собой. В шар поместили еще один шар так, что он касается всех восьми шаров. Найти его радиус. Задача является пространственной аналогией плоской конструкции из пяти кругов. (См. рис).
Дано:
AB- диагональ куба с ребром 1.
S – центр квадрата.
8 шаров с радиусом R.
1 шар с радиусом r. (r<R).
Найти r.
Решение: Из рисунка ясно, что MN = 4R =1 тогда R = 1/4. Проведем диагональное сечение куба через точки A и B.
.
Из квадрата PEQA:
.
Ответ: 
.
5. В правильной треугольной пирамиде проведено сечение, параллельное основанию так, что оно делит объем пирамиды в отношении 1:7, считая от вершины. Найти отношение объема пирамиды к объему вписанного в нее шара, если известно, что шар касается проведенного сечения.
Дано:
SABC, SA1B1C1 правильные пирамиды;
ABC, A1B1C1;
;
Найти: 
?
Пусть AB=BC=AC=X, SD=H, A1B1=B1C1= A1C1=x, SD1 = h.
,
.
Так как пирамиды SABC, SA1B1C1 подобны, пусть k коэффициент пропорциональности линейных величин, т.е.
H = kh, X = kx, тогда 
.
То есть H=2h, X=2x.
Рассмотрим треугольник SED, GF =FD = r, где F - центр вписанного шара, r - радиус вписанного шара. Обозначим через 
, 
. 
решим уравнение:
,
, далее 
,
С другой стороны, 
, тогда
Решая уравнение, получим 
Ответ: 
6. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Боковые грани наклонены под одним углом к плоскости основания. Найти площадь вписанной в пирамиду сферы, если вершина пирамиды находится на расстоянии 3 от одной из сторон основания.
Дано:
AB = 3, AC = 4, /BAC = 90°,
/SPD = /SQD = /SED ,
SP =3.
Найти: Sвпис.сферы -?
Решение: Так как /SPD = /SQD = /SED и катет SD - общий, то ΔPSD = ΔQSD = ΔESD, тогда SP = SQ = SE = 3, PD = QD = ED = r, где r - радиус окружности, вписанной в ΔABC. Найдем r.
Рассмотрим треугольник ΔSED, SE = 3, ED = 1, GF = FD = R, где F - центр вписанного шара, R - радиус вписанного шара. ED = r = 1.
.
решим уравнение:
,
далее 
,
.
Ответ: 
.
