Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, все рёбра которой равны 1. Точка M — середина ребра AS. Найдите расстояние от S до плоскости BCM.

Дано:

SABCD - правильная пирамида;

AS=BS=CS=DS=1;

AM=MS:

Найти: Расстояние от S до плоскости BCM.

Решение:

 

Рассмотрим прямую проекцию пирамиды, так чтобы проекции точек A и D (B и C) совпали.

 

Тогда, DS=ES. ES -  высота правильного треугольника ΔASD.

  Значит, .

Из  найдем косинус угла SDG: .

Из теоремы косинусов:

 

По формуле Герона найдем площадь :

,

 

С другой стороны , тогда .

Ответ:.

 

2. Сферу пересекает плоскость на расстоянии 5 от центра. В этой плоскости лежит прямоугольный треугольник с вершинами на сфере. Найти радиус сферы, если катеты треугольника равны 14.

Дано:

S- центр сферы;

SC- радиус сферы;

O- центр окружности, образованной линией пересечения плоскости и сферы;

OS=5;

ABC – прямоугольный треугольник;

BC=AC=14

Найти: SC-?

 

Решение:

Из прямоугольного ΔABC: AB = √(196+196). Так как ΔABC - прямоугольный, то гипотенуза AB является диаметром окружности, тогда AO = BO = CO = √(196/2) = √98.

Из прямоугольного ΔSOC: SC =√(98+25) = √123.

Ответ: SC = √123.

 

3. В сферу радиуса 1 вписана четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат. Меньшее ее боковое ребро перпендикулярно основанию, а большее составляет с ним угол в 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

 

Дано:

OE=1 – радиус сферы;

ABCDS- вписанная пирамида;

AS┴ABCD;

/ASC =60°;

Найти: SABCDS - ?

Так как угол / SAC -  прямой, SC является диаметром сферы, тогда SC = 2OE = 2. Угол / SCA = 30°, тогда , . AC - диагональ квадрата ABCD, поэтому . Далее, ,

Найдем по формуле Герона площадь

ΔSCD: , , ,

.


 Ответ: 

 

4. Внутрь куба с ребром 1 поместили 8 равных шаров по одному шару на вершину куба. Каждый шар касается трех граней, проходящих через «его» вершину. Известно, что шары, соответствующие вершинам одного ребра, касаются между собой. В шар поместили еще один шар так, что он касается всех восьми шаров. Найти его радиус. Задача является пространственной аналогией плоской конструкции из пяти кругов. (См. рис).

 

Дано:

AB- диагональ куба с ребром 1.

S – центр квадрата.

8 шаров с радиусом R.

1 шар с радиусом r. (r<R).

Найти r.

Решение: Из рисунка ясно, что MN = 4R =1 тогда R = 1/4. Проведем диагональное сечение куба через точки A и B.

 

.

Из квадрата PEQA:

.

Ответ: .


5. В правильной треугольной пирамиде проведено сечение, параллельное основанию так, что оно делит объем пирамиды в отношении 1:7, считая от вершины. Найти отношение объема пирамиды к объему вписанного в нее шара, если известно, что шар касается проведенного сечения.

Дано:

SABC, SA1B1C1 правильные пирамиды;

ABC, A1B1C1;

;

Найти:  ?


 

Пусть AB=BC=AC=X, SD=H,  A1B1=B1C1= A1C1=x, SD1 = h.

 

,

.

Так как пирамиды SABC, SA1B1C1 подобны, пусть k коэффициент пропорциональности линейных величин, т.е.

H = kh, X = kx, тогда .

То есть H=2h, X=2x.

 

Рассмотрим треугольник  SED, GF =FD = r, где F - центр вписанного шара, r - радиус вписанного шара. Обозначим через . решим уравнение:

,

, далее  ,

 

С другой стороны, , тогда

 

Решая уравнение, получим 

 

Ответ: 


6. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Боковые грани наклонены под одним углом к плоскости основания. Найти площадь вписанной в пирамиду сферы, если вершина пирамиды находится на расстоянии 3 от одной из сторон основания.

 

Дано:

AB = 3, AC = 4, /BAC = 90°,

/SPD = /SQD = /SED ,

SP =3.

Найти: Sвпис.сферы -?

Решение: Так как /SPD = /SQD = /SED и катет SD - общий, то ΔPSD = ΔQSD = ΔESD, тогда SP = SQ = SE = 3, PD = QD = ED = r, где r - радиус  окружности, вписанной в ΔABC. Найдем r.

 


 

Рассмотрим треугольник ΔSED, SE = 3, ED = 1, GF = FD = R, где F - центр вписанного шара, R  - радиус вписанного шара. ED = r = 1.

.решим уравнение:

,

далее  ,

.

Ответ:  .