Дифференциальные уравнения»


Задание 1. Решить дифференциальное уравнение:


Разделяем переменные

Делим на , т.к. , ()

Интегрируем обе части уравнения


. Выражаем у

-Ответ


Задание 2.   Решить дифференциальное уравнение:


Найдем общее решение y соответствующего однородного уравнения .

Его характеристическое уравнение 

имеет действительные  корни 

Два корня кратности 2.

Значит ,

Далее находим частное решение исходного неоднородного уравнения. Его правая часть  есть формула вида , причем  a=0 является корнем характеристического уравнения. Кратности 2 (a = k1,2)

Поэтому частное решение y ищем в виде , т.е. , где A,B,C- неопределенные коэффициенты.

Тогда  Подставляем в исходное уравнение:


Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему:

.

Тогда частное решение .

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид  ;

- Ответ.


1.

 Находим дифференциал данной функции  и подставляем полученное выражение для  вместе с выражением для  в исходное дифференциальное уравнение (ДУ) :

;

,

 

.

Полученное тождество доказывает, что данная функция при всех  является решением ДУ.

 3.

 , y(1) = 0 – задача Коши для ДУ с разделяющимися переменными.

Находим общий интеграл:

Используя начальное условие, получаем значение постоянной :

, C=1.

Возвращаясь к общему интегралу и заменяя в нем C  полученным значением, находим решение задачи Коши в виде  (неявная зависимость  y от x).

5.

,  – линейное неоднородное ДУ.

Метод Лагранжа (вариация постоянной):

1)

– общее решение соответствующего линейного однородного ДУ;

2) ;

;

;

3)  – общее решение исходного ДУ.

 7.

 – ДУ второго порядка, не содержащее явно y.

Замена переменной y’=p; y’’ = p’ . Имеем ,  (ДУ первого порядка с разделяющимися переменными). Разделяем переменные и интегрируем:

.

Учитывая, что p=y' , возвращаемся к исходным переменным и еще один раз интегрируем:

,

.

Таким образом, общее решение исходного ДУ имеет вид

. 

8.

 – линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

. Корни действительные и различные, поэтому общее решение ДУ имеет вид

.

2.

.

Здесь правая часть  данного ДУ определена и непрерывна вместе со своей частной производной по  в любой ограниченной области плоскости. Поэтому интегральные кривые ДУ заполняют всю плоскость, не пересекаясь между собой (существование и единственность решений).

При этом интегральные кривые имеют горизонтальную касательную в тех точках, где угловой коэффициент . Следовательно, нулевыми изоклинами являются прямые x = 0 и y = 1 (заметим, что y =1  – интегральная кривая ДУ).

Интегральные кривые возрастают при , то есть в области

, а убывают в области , то есть .

С учетом предыдущих рассуждений заключаем, что интегральные кривые данного ДУ имеют следующий вид:

 

4.

  – однородное ДУ, так как его правая часть является однородной функцией нулевой степени (отношение многочленов третьей степени).

Замена

,

,


Таким образом,,а общий интеграл ДУ имеет вид

.

6.

– ДУ вида .

Здесь . Это означает, что ДУ является уравнением в полных дифференциалах. Следовательно, существует функция   Находим функцию u:

;

.

Общий интеграл ДУ имеет вид

.

 9.

– линейное неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью (метод подбора частного решения; принцип суперпозиции).

Вначале находим общее решение соответствующего однородного ДУ:

.

Далее подбираем частное решение, соответствующее правой части . Учитывая, что число 0 – простой корень характеристического уравнения, частное решение будем искать в виде

.

Получаем:

,

,      ,

.

, причем числа  не являются корнями характеристического уравнения. Поэтому


,  


Общее решение исходного ДУ имеет вид

10.

 

– линейная однородная система с постоянными коэффициентами.

Метод исключения переменных:

 

Интегрируем первое уравнение:

Далее, учитывая, что , получаем .

Общее решение системы имеет вид