Дифференциальные уравнения. Пример решения

Дифференциальные уравнения»

Задание 1. Решить дифференциальное уравнение:

Разделяем переменные

Делим на , т.к. , ()

Интегрируем обе части уравнения

. Выражаем у

-Ответ

Задание 2. Решить дифференциальное уравнение:

Найдем общее решение y соответствующего однородного уравнения .

Его характеристическое уравнение

имеет действительные корни

Два корня кратности 2.

Значит ,

Далее находим частное решение исходного неоднородного уравнения. Его правая часть есть формула вида , причем a=0 является корнем характеристического уравнения. Кратности 2 (a = k_1,2)

Поэтому частное решение y ищем в виде , т.е. , где A,B,C- неопределенные коэффициенты.

Тогда Подставляем в исходное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему:

Тогда частное решение .

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид ;

- Ответ.

Находим дифференциал данной функции и подставляем полученное выражение для вместе с выражением для в исходное дифференциальное уравнение (ДУ) :

;

Полученное тождество доказывает, что данная функция при всех является решением ДУ.

, y(1) = 0 – задача Коши для ДУ с разделяющимися переменными.

Находим общий интеграл:

Используя начальное условие, получаем значение постоянной :

, C=1.

Возвращаясь к общему интегралу и заменяя в нем C полученным значением, находим решение задачи Коши в виде (неявная зависимость y от x).

, – линейное неоднородное ДУ.

Метод Лагранжа (вариация постоянной):

– общее решение соответствующего линейного однородного ДУ;

2) ;

;

3) – общее решение исходного ДУ.

– ДУ второго порядка, не содержащее явно y.

Замена переменной y’=p; y’’ = p’ . Имеем , (ДУ первого порядка с разделяющимися переменными). Разделяем переменные и интегрируем:

Учитывая, что p=y' , возвращаемся к исходным переменным и еще один раз интегрируем:

Таким образом, общее решение исходного ДУ имеет вид

– линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

. Корни действительные и различные, поэтому общее решение ДУ имеет вид

Здесь правая часть данного ДУ определена и непрерывна вместе со своей частной производной по в любой ограниченной области плоскости. Поэтому интегральные кривые ДУ заполняют всю плоскость, не пересекаясь между собой (существование и единственность решений).

При этом интегральные кривые имеют горизонтальную касательную в тех точках, где угловой коэффициент . Следовательно, нулевыми изоклинами являются прямые x = 0 и y = 1 (заметим, что y =1 – интегральная кривая ДУ).

Интегральные кривые возрастают при , то есть в области

, а убывают в области , то есть .

С учетом предыдущих рассуждений заключаем, что интегральные кривые данного ДУ имеют следующий вид:

– однородное ДУ, так как его правая часть является однородной функцией нулевой степени (отношение многочленов третьей степени).

Замена

Таким образом,,а общий интеграл ДУ имеет вид

– ДУ вида .

Здесь . Это означает, что ДУ является уравнением в полных дифференциалах. Следовательно, существует функция Находим функцию u:

;

Общий интеграл ДУ имеет вид

– линейное неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью (метод подбора частного решения; принцип суперпозиции).

Вначале находим общее решение соответствующего однородного ДУ:

Далее подбираем частное решение, соответствующее правой части . Учитывая, что число 0 – простой корень характеристического уравнения, частное решение будем искать в виде

Получаем:

, ,

, причем числа не являются корнями характеристического уравнения. Поэтому

Общее решение исходного ДУ имеет вид

10.

– линейная однородная система с постоянными коэффициентами.

Метод исключения переменных:

Интегрируем первое уравнение:

Далее, учитывая, что , получаем .

Общее решение системы имеет вид