Решение

Воспользуемся методом подведения под знак дифференциала. Вносим функцию arctgx под знак дифференциала, учитывая что

 

найдем


Решение

Воспользуемся методом подведения под знак дифференциала. Вносим функцию -x² под знак дифференциала, учитывая что

 

получим

 

Решение

Преобразуем, подынтегральную функцию выделим целую часть неправильной дроби вычтем и прибавим в числители единицу,  воспользовавшись формулой сокращенного умножения почленно разделим числитель подынтегральной функции на знаменатель и представим интеграл в виде суммы двух интегралов



Решение

Преобразуем подынтегральную функцию

 

Так как подынтегральная функция нечетна относительно косинуса, применим подстановку

 


Решение

Существует целые класс функций, которые зависят от постоянных сомножителей или показателей степеней и могут быть найдены по обобщённым формулам  интегрирования

 

Для n=3; m=-2 получим

Для n=2 m=-2 получим


Для n=1 m=-2 получим

Используя промежуточные результаты, будем иметь окончательно

 

Решение

Прежде чем приступить к интегрированию рациональной дроби, следует убедиться, что дробь правильная. В нашем случае дробь, стоящая под знаком интеграла неправильная, так как степень числителя больше степени знаменателя. Прежде всего, исключим  целую часть

Для этого делим числитель дроби на ее знаменатель и представим неправильную рациональную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби

 


Данная дробь правильная. Разлагаем ее на простейшие.

Разложим знаменатель на простейшие действительные множители

Все корни знаменателя действительные, но среди них есть кратные, следовательно, разложение на элементарные дроби имеет вид

 

Освобождаемся от знаменателей, умножая обе части равенства на  знаменатель левой части, получим

где A,B,C,D –коэффициенты подлежащие определению

Определение неизвестных коэффициентов проведем способом частных значений

Написанное выражение является тождеством, а потому должно сохранятся при любом значении переменной. Будем давать переменной xтакие значения, что бы в правой части равенства все члены кроме одного обращались в нуль

Такими «выгодными» значениями являются, очевидно, корни знаменателя

При x=2

 

При x=-2

 

Осталось определить два коэффициента. Поскольку удобных «частных» значений уже не осталось придадим x–какое ни будь значение приводящее не очень к громоздким вычислениям

Положим x=0

 

Подставляем найденные значения A, B получаем

 

Положим x=1

 

Подставляем найденные значения A, B получаем

 

или


Имеем систему двух уравнений для определения  двух коэффициентов

 

откуда


Таким образом, искомое разложение имеет вид

Подставляя под знак интеграла полученную сумму элементарных дробей. Интегрируя каждое слагаемое отдельно получим

  

Воспользуемся методом подведения под знак дифференциала

 

Итак, окончательно получаем

Решение

Для нахождения этого интеграла выделим в числители дроби, стоящей под знаком интеграла  с помощью тождественных преобразований производную подкоренного выражения, и разобьем интеграл на сумму двух интегралов

 

 

Решение

Так как подкоренное выражение представляет собой дробно –линейную функцию относительно переменой x, то целесообразно воспользоваться подстановкой


откуда


тогда

 

Заменим  под знаком интеграла переменную x новой переменной zполучаем интеграл от рациональной функции новой переменной z

 

Данная дробь, стоящая под знаком интеграла правильная. Разложим на множители знаменатель правильной рациональной дроби. Представим  правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей

Квадратный множитель действительных корней не имеет, значит, знаменатель дроби  имеет кратные комплексные корни.

Разложение  данной правильной дроби на простейшие имеет вид

 

где A,B,C,D –коэффициенты подлежащие определению

Для определения неизвестных коэффициентов применим  способ неопределенных  коэффициентов

Умножая обе части этого равенства на знаменатель левой части,получим

 

В правой части произведем умножение

 

Это равенство можно переписать, иначе располагая многочлен в правой части равенства  по убывающим степеням «z»


Левая часть равенства, должна быть тождественно равна правой части, следовательно, равенство должно, выполнятся при любом значении «z». Это будет иметь место только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях «икс» в обеих частях равенства между собой будут равны

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях «z» в левой и правой частях последнего равенства, получим систему четырех уравнений первой степени с четырьмя  неизвестными для определения коэффициентов.

 

Эта  система имеет единственное решение.

A=0; B=-2; C=0; В=2

Таким образом,  мы получили, разложение рациональной дроби на простейшие дроби

 

Подставляя под интеграл, полученную  сумму элементарных дробей и интегрируя каждое слагаемое найдем

 

Для вычисления второго интеграла воспользуемся рекуррентной формулой

  

при n=2

 

тогда

 

Окончательно, имеем


Возвращаясь к старой переменной имеем


Решение

Здесь под знаком интеграла стоит правильная  рациональная дробь.

Разложим правильную рациональную дробь на сумму элементарных дробей. Все корни знаменателя действительные, но среди них есть кратные. Разложение на элементарные дроби имеет вид

 

где A,B,C,D –коэффициенты подлежащие определению

Освобождаемся от знаменателей, умножая обе части равенства на  знаменатель левой части, получим

Определение неизвестных коэффициентов проведем способом частных значений

Написанное выражение является тождеством, а потому должно сохраняться при любом значении переменной.

Поэтому выбираем значение  переменной xтаким образом, что бы  каждое обратило в нуль,  какой ни будь  из сомножителей в правой части равенства.

Удобнее всего в качестве значений переменной xвыбрать  корни знаменателя, так как они обращают в нуль часть сомножителей

При x=2

 

При x=5

 

Осталось определить два коэффициента. Поскольку удобных «частных» значений уже не осталось придадим x–какое ни будь значение приводящее не очень к громоздким вычислениям

Положим x=0

 

Подставляем найденные значения A, D,получаем

 

Положим x=1

 

Подставляем найденные значения A, Dполучаем

 

или


Имеем систему двух уравнений для определения  двух коэффициентов

 

откуда

B = C = 0

Таким образом, искомое разложение имеет вид

 

Подставляя под знак интеграла полученную сумму элементарных дробей. Интегрируя каждое слагаемое отдельно получим


Решение

Преобразуем подынтегральное выражение

  

Подынтегральная функция – есть рациональная функция относительно синуса и косинуса, здесь целесообразно применить подстановку

 

Применим формулу замены в неопределенном интеграле

 

Дробь, стоящая под знаком интеграла правильная, запишем дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами, подлежащих определению

Разложим знаменатель дроби на простейшие действительные множители


Все корни  знаменателя действительные и простые, поэтому подынтегральная функция представиться в виде суммы простейших дробей


Для определения  неизвестных коэффициентов воспользуемся «методом вычеркивания»


Таким образом, мы получили разложение дроби на простейшие


Подставляя под знак интеграла полученную сумму элементарных дробей, и интегрируя каждое слагаемое отдельно получим

 

Возвращаясь к старой переменной, окончательно получим

  

Решение

Запишем интеграл в виде

 

Это интеграл от дифференциального бинома

где

 

Составляем числа

 


В этом примере применима подстановка


Преобразуем подынтегральное выражение, так что бы оно содержало

 

Выносим в подынтегральном выражении x² - за скобки имеем

 

Откуда используя подстановку,  выразим все компоненты под подынтегрального выражения через z